Mantık Konu Özeti – Matematik

Mantık konusu matematiğin bulmaca konularından birisi olmasının yanı sıra bilgisayar programcılığı, elektik devre tasarımı gibi alanlarda da temel konular arasında yer alır. Mantık Konu Özeti ile Matematik derslerinizde yardımcı olmayı planlıyoruz.

Mantık Matematik Konu Özeti

Mantık konusunu işlerken bazı tanımları vermek mecburiyetindeyiz, bunların ezberlenmesi yerine mantığının anlaşılması daha mühimdir. Değineceğimiz tanımlar; önerme, önermenin değeri, önermenin değili, iki önermenin denkliği ve birleşik önermedir.

Önerme Nedir?

Önerme doğru ya da yanlış ama kesin hüküm bildiren ifadelerdir. p, q, r, s ve t gibi küçük harflerle gösterilirler.

Bir ifadenin önerme olması için doğru olmasına gerek yoktur.

p: “2 çift bir sayı değildir.” ifadesi bir önermedir.
Zira yanlışta olsa kesin bir hüküm bildirmektedir.

Aşağıda yer alan ifadelerin önerme olup olmadığını ve doğru-yanlış durumlarını inceleyelim.

• p:”Çift ve asal olan doğal sayı sadece 2’dir.”
  İfade kesin bir hüküm bildiriyor, önermedir.
  Doğrudur.
• q:”Bugün hava çok sıcak.”
  İfade de bir hüküm var ama kişiden kişiye değişim göstermesi mümkün yani kesin değil, o zaman bu bir önerme değildir.
• r:”Akşam çay içelim.”
  Bu ifade bir istek cümlesidir, önerme değildir.
• s:”2+4=7 olur.”
  İfadesi kesin bir hüküm bildirir niteliktedir, yani bir önermedir.
  Lakin 2+4=6’dır, yani yanlış bir önermedir.

Görüldüğü üzere bir ifade kesin bir hüküm bildirdiği sürece önerme olarak kabul görür, burada hükmün doğru ya da yanlış olması önemli değildir.

Önermenin Değeri

Önermeler doğru ya da yanlış ama kesin hüküm bildiren ifadeler oldukları için, doğru ya da yanlış olmalarına göre iki farklı değer alabilirler. Bir önerme ya doğrudur ya da yanlış; doğru olan önermeler için “D” veya “1” kullanılırken yanlış olan önermeler için “Y” veya “0” kullanılır.

• Doğru bir önerme ise “D” veya “1”; p≡1.
• Yanlış bir önerme ise “Y” veya “0”; q≡0.

P		P
D		1
Y		0

p	q
1	1
1	0
0	1
0	0

p	q	r
1	1	1
1	1	0
1	0	1
0	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	1
0	0	0

Yukarıda yer alan tablolar bir, iki ve üç önermenin alabileceği değerlerin tablosu yer almaktadır. Bu tabloları sizde defterinize ya da kağıdınıza çıkartın. Bu tarz tablolar mantık konusunda çokça yer almaktadır.

n ∈ Z olmak üzere birbirinden bağımsız n tane önermenin 2ⁿ tane doğruluk durumu vardır.

Bir örnek; birbirinden bağımsız p,q,r,s ve t önermelerinin kaç farklı doğruluk durumu vardır?

5 önerme olduğuna göre 2⁵ = 32 farklı doğruluk durumu vardır.
*Bu büyüklükte bir tabloyu vicdan ve mantık sahibi öğretmenler sınavda sormazlar ama tam olarak öğrenilmesi ve pekişmesi için tahtada yapana sözlü puanı vermeyi tercih ederler. Bu sebeple 4 ya da 5 bağımsız önermenin yer aldığı tabloları oluşturmayı deneyebilirsiniz.

Mantık Doğruluk Tablosu Oluşturma

Yukarıda belirttiğim gibi, mantık ve vicdan sahibi bir öğretmen 5’li doğruluk tablosunu sınavda yapmanızı istemez. Bunun iki sebebi var, ilk olarak tablo oluşturmanın mantığını anlamış bir kişi için 3’lü doğruluk tablosu ya da hadi diyelim 4’lü tablo oluşturmasını istemek yeterli, bundan öte bir tablonun çizimi işkence ve vakit-kağıt israfı olacaktır.

Yinede ben size tablo çizmenin mantığını anlatacağım, bu sayede 6’lı doğruluk tablosu hatta 7’li doğruluk tablosunu dahi çizebilirsiniz.

• Bir birinden bağımsız her önerme ya doğrudur ya yanlış, yani alabileceği iki farklı değer vardır. Bu sebeple doğruluk tablosunun yarısında doğru yarısında yanlış değer almış olmalıdır.

p	q
1	1
1	0
0	1
0	0

Yukarıda gördüğünüz 2’li doğruluk tablosunda p önermesi 4 değerin 2’sinde doğru, 2’sinde yanlış değer almıştır. Aynı şekilde q önermesi 4 değerin 2’sinde doğru, 2’sinde yanlış değer almıştır.

p	q	r
1	1	1
1	1	0
1	0	1
1	0	0
0	1	1
0	1	0
0	0	1
0	0	0

3’lü doğruluk tablosunu incelediğimizde yine gördüğümüz şey aynı, her önerme tablonun yarısında doğru yarısında yanlış değer almış durumdadır.

p	q	r	s
1	1	1	1
1	1	1	0
1	1	0	1
1	1	0	0
1	0	1	1
1	0	1	0
1	0	0	1
1	0	0	0
0	1	1	1
0	1	1	0
0	1	0	1
0	1	0	0
0	0	1	1
0	0	1	0
0	0	0	1
0	0	0	0

Aynı durum 4’lü doğruluk tablosu içinde geçerliliğini sürdürüyor, her önerme tabloda yarı yarıya doğru-yanlış dengesi içerisinde. 2⁴ = 16 farklı durum içeren bu tabloda her bir önerme 8 defa doğru değer almışken, 8 defa yanlış değer almış durumda.

Bir örnek; bir birinden bağımsız p, q, r, s ve t önermelerinin doğruluk tablosunu çiziniz.

n=5 ise 2⁵ = 32 farklı durum söz konusudur, yani tablomuz da 32 satır ve 5 sütun olacaktır.
Doğruluk tablomuzun ilk satırına önermelerin harflerini yazdığımız için 32+1= 33 satır yapılmalı.
İlk işimiz bu tabloyu çizmek, önerme harflerini yerleştirmek olmalı.

p önermesi için sütuna yarısına kadar doğru, diğer yarısına kadar yanlış değer yerleştilir.
Burada yarısına kadar kısmını 2^n-1 olacaktır.
Zira 2⁵ ‘in yarısı 2^n-1.
1111111111111111-0000000000000000 (sütunlara yerleşecek değerler)

q önermesi için 2^n-2 kadar doğru, 2^n-2 kadar yanlış, 2^n-2 kadar doğru ve 2^n-2 yanlış değer verilir.
2^n-2 = 2^5-2 = 2³ = 8 olduğu ve satır sayımız 32 olduğu için 4 defa döndürmemiz gerekiyor.
11111111-00000000-11111111-00000000 (sütunlara yerleşecek değerler)

r önermesi için 2^n-3 kadar doğru, yanlış döngüsü yapmamız gerekir. 2^n-3 =4 olduğu için de bu 32/4=8 defa olacaktır.
1111-0000-1111-0000-1111-0000-1111-0000 (sütuna yerleşecek değerler)

s önermesi için 2^n-4 = 2’li yani 16 döngü yapmamız gerekcektir.
11-00-11-00-11-00-11-00-11-00-11-00-11-00-11-00 (sütuna yerleşecek değerler)

t önermesi için 2^n-5 = 2⁰= 1, yani 32’li döngü yapmamız gerekecektir.
1-0-1-0-1-0-1-0-1-0-1-0-1-0-1-0-1-0-1-0-1-0-1-0-1-0-1-0-1-0-1-0 (sütuna yerleşecek değerler)

p	q	r	s	t
1	1	1	1	1
1	1	1	1	0
1	1	1	0	1
1	1	1	0	0
1	1	0	1	1
1	1	0	1	0
1	1	0	0	1
1	1	0	0	0
1	0	1	1	1
1	0	1	1	0
1	0	1	0	1
1	0	1	0	0
1	0	0	1	1
1	0	0	1	0
1	0	0	0	1
1	0	0	0	0
0	1	1	1	1
0	1	1	1	0
0	1	1	0	1
0	1	1	0	0
0	1	0	1	1
0	1	0	1	0
0	1	0	0	1
0	1	0	0	0
0	0	1	1	1
0	0	1	1	0
0	0	1	0	1
0	0	1	0	0
0	0	0	1	1
0	0	0	1	0
0	0	0	0	1
0	0	0	0	0

Önerme doğruluk tabloları birbirini kapsar; bu durum aşağıda verilen görselde kabaca gösterilmiştir.

İki önermenin denkliği

Doğruluk değeri aynı olan önermelere denk önermeler denir. İkiside doğru olan ya da ikisi de yanlış olan önermeler denk önermedir ve “” ile gösterilir. Bir birine denk olmayan önermeler için “≢” simgesi kullanılmaktadır. "Bu simge denk işaretinin üzerinin çizilmesi ile "≢" gerkeçkleştirilmiştir, pc ortamında en yakın bununla gösterebiliyorum."

p ≡ 1 ve q ≡ 1 ise p ≡ q olur.
p ≡ 1 ve q ≡ 0 ise p ≢ q olur.

Bir örnek: p:” 2 asal sayıdır.” q:” Bir yıl 12 aydır.” ve r:” En küçük asal sayı 3’tür.”
p ve q önermeleri doğru, r önermesi ise yanlıştır.

p ≡ 1, q ≡ 1 ve r ≡ 0 olur.
p ≡ q “p denk q”
p ≢ r ve q ≢ r olur.

Bir Önermenin Değili

Bir önermenin hükmünün değiştirilmesi ile elde edilen yeni önermeye, bu önermenin değili ya da olumsuzu denir.
p önermesinin değili p’ ya da ~p şeklinde gösterilir.

p önermesi doğru ise değili yanlış, yanlış ise değili doğru olacaktır.

p	p’	(p’)’
1	0	1
0	1	0

Bir önermenin değilinin değili önermenin kendisidir.

Bir önermenin değili o önermenin zıtt değildir. Bu öğrenciler tarafından sıklıkla karıştırılan bir durumdur.
p:”Işık beyazdır.” ve q:”Işık siyahtır.” şeklinde iki önerme verildiğinde bu hataya düşenler q önermesini p’ olarak ele alabiliyorlar. Esasında bunlar birbirinden alakasız ifadelerdir.
p önermesinin değili, p’:”Işık beyaz değildir.” olur.

Birleşik Önerme Konu Özeti

2 veya daha fazla önermenin ve (∧), veya (∨), ya da (⊻), ancak ve ancak (⇔) bağlaçları ile birleştirilmesiyle oluşan önermelere denir.

Bu bağlaçları incelerken örnek önermeler üzerinden ilerleme sağlayacak ve örnek önermelerin değillerini de kullanacağız.

Ve (∧) Bağlacı İle Yapılan Önermeler

p:”Fatih ela gözlüdür.”
q:”Fatih sarışındır.”
p∧q:”Fatih, ela gözlü ve sarışındır.”
p’∧q:”Fatih, ela gözlü değildir ve sarışındır.”
p∧q’:”Fatih, ela gözlüdür ve sarışın değildir.”
p’∧q’:”Fatih, ela gözlü değildir ve sarışın değildir.”

p	q	p∧q	p’∧q	p∧q’	p’∧q’
1	1	1	0	0	0
1	0	0	0	1	0
0	1	0	1	0	0
0	0	0	0	0	1

Ve bağlaçlı bir önerme bileşenlerin her ikisi doğru ise doğru, en az biri yanlış ise yanlış değerlidir.

Veya “∨” ile Yapılan Önermeler

p:”Fatih ela gözlüdür.”
q:”Fatih sarışındır.”
p∨q:”Fatih ela gözlü veya sarışındır.”
p’∨q:”Fatih ela gözlü değildir veya sarışındır.”
p∨q’:”Fatih ela gözlüdür veya sarışın değildir.”
p’∨q’:”Fatih ela gözlüdeğildir veya sarışın değildir.”

p	q	p ∨ q	p’ ∨ q	p ∨ q’	p’ ∨ q’
1	1	1	1	1	0
1	0	1	0	1	1
0	1	1	1	0	0
0	0	0	1	0	1

Veya bağlaçlı bir önerme bileşenlerinden en az biri doğru olduğu sürece doğru değerli sonuç verir.

∧ ve ∨ Bağlaçlarının Özellikleri

• p ∧ p ≡ p
• p ∨ p ≡ p
• p ∧ q ≡ q ∧ p
• p ∨ q ≡ q ∨ p
• p ∧ (q ∧ r) ≡ (p ∧ q) ∧ r
• p ∨ (q ∨ r) ≡ (p ∨ q) ∨ r
• (p ∧ q)’≡p’ ∨ q’ (de Morgan)
• (p ∨ q)’≡p’ ∧ q’ (de Morgan)

Bir Örnek: [(1 ∨ 0) ∨ (1 ∧ 0)’]’ bileşik önermesinin değeri nedir?
Cevaptan önce siz çözmeyi deneyiniz.
Veya bağlacı söz konusu ise en az bir tanesinin doğru olması bileşik önermeyi doğru yapar.
Ve bağlacı söz konusu iken en az bir yanlış önerme olması durumunda bileşik önerme yanlış olur.
Yanlışın değili doğru, doğrunun değili yanlıştır.

Bir Örnek, (p ∧ q’)’ ∧ (p ∧ q)’ ≡ p’ olduğunu gösteriniz.
Çözüme bakmadan önce siz yapınız.
*de Morgan kuralını uygulamayı unutmayınız.
(p ∧ q)’≡p’ ∨ q’ ve (p ∨ q)’≡p’ ∧ q’ (de Morgan)

Bir örnek: p ve [(p ve q’)’ ve (p ve q)’]’ ifadesini sadeleştirin.
*Parantez üzeri değil söz konusu olan sorularda de Morgan kuralını unutmayın.

Bir soru: r ∨ (p’ ∨ q’)≡0 olduğuna göre önermelerin doğruluk değerini bulunuz.

r ∨ (p’ ∨ q’)≡0 olması için r≡0 ve (p’ ∨ q’)≡0 olmalıdır.
(p’ ∨ q’)≡0 olması için p’≡0 ve q’≡0 olmalıdır.
O halde p≡q≡1 ve r≡0 olur.