1. Ana Sayfa
  2. Matematik
  3. Olasılık – Ders Notları

Olasılık – Ders Notları

Olasılık - Matematik Ders Notları.

Hayatta aldığımız her kararın, yaptığımız her eylemin bir sonucu vardır. Bu sonuçların bazısı kanunlar gereği kesinken, geriye kalanları olasılık olarak bilinebilir.

Bu yazımızın amacı öğrencilerin büyük bir çoğunluğunun oldukça zorlandığı olasılık konusunun ders notları ile daha anlaşılır hale getirmektir; matematiğin ve günlük hayatın önemli bir konusu olması şans eseri değildir.

Matematik Olasılık

Olasılık konusu sınavlarda da önemine binayen karşımıza çıkıyor, en önemli sınavlardan biri olan ve yüksek öğretime geçiş yapılması sağlan üniversite sınavlarında da kendisine ikinci kademe olan AYT’de yer bulmuş durumda.

Yani sınav odaklı konuşursak çoğu öğrenci için önemi azdır, lakin gerçek hayatta da önemli bir olgu olması sebebiyle benim değinme isteğimi kazandı.

Aşağıda ders notu olarak anlatacak, belgeler ekleyeceğim ama tam bir ders havasında olmayacak. Dersten ya da akademik bir makaleden ziyade sohbet havasında geçmesi için uğraş vereceğim.

Teorik ve Deneysel olarak iki türü vardır, sırasıyla önemli detayları vererek anlatacağım. Unutmamanız gereken dört işlemin oldukça önemli olduğudur.

Bu konuda takılırsanız matematik temelinizi gözden geçirmenizi tavsiye ederim.

Teorik Olasılık – Ders Notları

Teorik olasılıkta istenilen durum ile tüm ihtimaller oranlanır. İstenilen durum soruda verilen kısımdır, örneğin bir zar atıldığında 5 gelmesi. Tüm ihtimaller ise, örnek uzay, zar atıldığında gelmesi muhtemel sonuçlardır. Yani (1,2,3,4,5,6). Gördüğünüz üzere 6 durum var ve biz bir tanesini istiyoruz.

İstenilen Durum / Tüm İhtimaller = 1/6

Teorik Olasılıkta herşey kağıt üstünde yapılır.
Yani para ya da zar havaya atılmaz, atılırsa ne olur diye hesap yapılır.
Bu yüzden teorik olarak adlandırılır.

Not

Bir zar atıldığında çift sayı gelme olasılığını hesaplamak istersek 6 durumun 3 tanesi, yani 2,4 ve 6 istenilen durumdur. 3/6 yani 1/2 çıkar.

Görüldüğü üzere tamamen istenilen/hepsi şeklinde formül.
Kaç durum var, kaçını istiyoruz; bunları bulun, gerisi gelir.

A olayının olma olasılığı P(A) şeklinde gösterilir.
s(A), A kümesinin eleman sayısı, s(E) ise örnek uzayın eleman sayısıdır.
P(A)=s(A)/s(E) olarak formül ortaya çıkar.

Madeni Para Örneği

En çok soru gelen malzemelerden birisi madeni paradır. Para havaya atılıp, yere düştüğünde ya yazı ya tura gelecektir, yani 2 olası durum var. Haliyle tura gelme ihtimali de yazı gelme ihtimalide 1/2 olacaktır.

Parayı havaya atmanız istenmez, atsaydınız ne olur diye sorulur.

Formüle dayalı çözümde s(E)={Yazı,Tura} olmak üzere 2.
Yazı gelme olasılığı sorulsa s(A)={Yazı} olmak üzere 1 olacaktır.
Cevap ise 1/2.

Zar Örneği

Zar Örneği

Sık soru gelen diğer malzeme ise zardır. Zar bildiğiniz gibi bir küptür ve her yüzeyinde 6 farklı rakam yazılıdır. (Örnek uzak 6 elemanlı yani)
s(E)={1,2,3,4,5,6}

İstenilen duruma dikkat ederek çözüm yapmanız gerekir. Aşağıda yer alan şartlardan birisi istenebilir.

  • 1,2,3,4,5,6 sayılarından her hangi birinin gelme olasılığı.
  • Tek sayı gelme olasılığı.
  • Çift sayı gelme olasılığı.
  • Asal sayı gelme olasılığı.
  • Belirli bir sayıdan büyük olma olasılığı.
  • Belirli bir sayıdan küçük olma olasılığı.
  • Belli bir sayıya bölünebilme olasılığı.

Görüldüğü gibi bir çok durum sorula bilir, sizin yapmanız gereken bu olası durumları tespit etmektir. Örneğin tek sayılar 1,3,5 olacakken; çift sayılar 2,4,6 olmak üzere üçer tanedir. Yine asal olma durumlar 1,2,3,5 olmak üzere 4 tane, ya da 4’den büyük olma ihtimalleri 5,6 olmak üzere iki tanedir.

Örnek 1.
Bir zar havaya atılıyor.
Zarın üst yüzüne çift sayı gelme olasılığı kaçtır?

İstenilen durumlar 2,4 ve 6 olmak üzere 3 tanedir.
Toplam durum 1,2,3,4,5,6 olmak üzere 6 tanedir.
Sonuç 3/6, yani 1/2 olacaktır.

Örnek 2.
Bir zar havaya atılıyor.
Zarın üst yüzüne 3’ten küçük bir sayı gelme olasılığı kaçtır?

İstenilen durumları bulalım. 3’ten küçük olması için 1 ve 2 gelmelidir; yani istenilen durum sayısı 2.
Toplam durum 1,2,3,4,5,6 olmak üzere 6 tanedir.
Sonuç 2/6, yani 1/3’dür.

Yani zarı havaya attıkça 3’ten küçük gelme ihtimali her 3 atıştan 1 tanesidir.

Zar, Para, Torba içindeki renkli cisimler, torba içindeki malzemeler, sınıftaki kız öğrenciler, sınıftaki erkek öğrenciler, sınıftaki gözlüklü öğrenciler ve benzeri her hangi bir küme ve küme içindeki alt kümeler olasılığa konu olabilir. Yapmanız gereken istenilen durum sayısını, tüm durum sayısına bölmektir.

Torba Örneği

Bir torbanın içine renklerine göre cisimler koyar.
Örneğin bir torbanın içinde 3 kırmızı, 5 mavi top vardır; rastgele çekilecek topun mavi olma olasılığı nedir?

Toplam ihtimaller 3+5=8’dir.
Yani çekilebilecek 8 top vardır.
İstenilen durum ise 5, yani bu ihtimallerden sadece 5 tanesi bizim isteğimize uygun.

Cevapta 5/8 olacaktır.

İstenilen Durum Sayısı / Tüm Durumlar
Formül sabit.

Deneysel Olasılık

Konu güncellenecektir…

Yorum Yap

Yorum Yap